[Matemática] Operações Básicas | Multiplicação e Divisão

▶ Multiplicação ×

A multiplicação consiste em somar um determinado número uma certa quantidade de vezes.
Por exemplo: 3 × 5 = 5 + 5 + 5 = 15
| Notação
Uma multiplicação pode se apresentar para você das seguintes formas:

3 × 5 = 3 • 5 = 3(5) = (3).(5) = 15
Não havendo nada entre os termos, considera-se que seja uma multiplicação.

| Operação de Multiplicação entre números inteiros (Z)
O método mais simples da multiplicação consiste em alinhar os grupos da direita para a esquerda (↤), com cada número em sua respectiva ordem das casas (unidade, dezena, centena, unidade de milhar...), de cima para baixo e do maior valor para o menor.
Vejamos um exemplo: Você passou o mês de outubro e novembro só estudando, pois o Enem se aproximava, então deixou as séries de lado. Supernatural retorna no dia 12 de outubro, mas você só vai fazer a última prova no dia 12 de novembro, então terá que perder pelo menos 6 episódios. Após fazer a última prova e chegar em casa você pretende por a série em dia de uma vez só, então quantos minutos pelo menos você precisará para ver todos os episódios perdidos sem interrupções.
Nota: Cada episódio tem 43 min de duração.

C	D	U
2	1
	4	3
×		6
2	5	8

6 unidades × 3 unidades = 18 unidades; como 18 unidades equivalem a 1 dezena e 8 unidades, resta na coluna das unidades 8 unidades e "vai um" para a coluna das dezenas.
6 unidades × 4 dezenas = 24 dezenas + 1 dezena = 25 dezenas; como 20 dezenas equivale a 2 centenas, resta na coluna das dezenas 5 dezenas e "vai dois" para a coluna das centenas.
6 unidades × 0 centenas = 0 centenas + 2 centenas = 2 centenas.
Resultado: 258 minutos.

Vejamos agora quando há mais de um termo como multiplicador.
Imagine agora que você vai começar a ver Dragon Ball Super, desde o primeiro episódio, pois só aceitava ver Dublado e a versão dublada saiu justamente no meio do seu ano de estudos.

Atualmente estamos no quarto arco, o do Trunks do futuro, episódio 47. Se cada episódio dura 24 minutos, ininterruptamente, qual será o tempo necessário para repor todos os episódios se você for começar a ver após o Enem? (6 semanas depois, considere o lançamento de 1 episódio por semana)...

UM	C	D	U
1	2	1
		5	3
	×	2	4
+	2	1	2
1	0	6
1	2	7	2

4 unidades × 3 unidades = 12 unidades; como 12 unidades equivalem a 1 dezena + 2 unidades, restam na coluna das unidades, 2 unidades e "vai um" para a coluna das dezenas.
4 unidades × 5 dezenas = 20 dezenas + 1 dezena = 21 dezenas, restam na coluna das dezenas 1 dezena e "vai dois" para a coluna das centenas.
4 unidades × 0 centenas = 0 centenas + 2 centenas = 2 centenas.

Terminada a primeira etapa. Agora passaremos para a multiplicação do próximo número; neste caso iremos para a linha de baixo e começaremos a partir da posição do número que será o multiplicador, que agora será o 2.

2 dezenas × 3 unidades = 6 dezenas.

Observe aqui que "pulamos" a coluna das unidades, começando a colocar os resultados a partir da coluna das dezenas; isto ocorre porque estamos multiplicando agora o dígito do multiplicador que está na casa das dezenas, ou seja, qualquer valor resultante da multiplicação deste número por um outro número pertencerá a esta coluna ou a uma coluna maior. Se estivéssemos, por exemplo, multiplicando agora o dígito do multiplicador que estivesse na casa das centenas, "pularíamos" a coluna das unidades e a coluna das dezenas, e assim seria sucessivamente.

2 dezenas × 5 dezenas = 10 centenas; como 10 centenas equivalem à 1 unidade de milhar, restam, na coluna das centenas, nenhuma centena e "vai um" para a coluna das unidades de milhar.
2 dezenas × 0 unidades de milhar = 0 unidade de milhar + 1 unidade de milhar = 1 unidade de milhar.

Como obtivemos duas “linhas” de resultados, basta agora que façamos a soma entre estas linhas.

2 unidades + 0 unidades = 2 unidades.
1 dezena + 6 dezenas = 7 dezenas.
2 centenas + 0 centenas = 2 centenas.
0 unidades de milhar + 1 unidades de milhar = 1 unidade de milhar.
Resultado: 1272 minutos.

Ou seja, esse número que "sobe" ou "vai", significa apenas que você está transformando unidades menores em unidades maiores, por exemplo,10 unidades em 1 dezenas, 30 dezenas em 3 centenas, 50 centenas em 5 unidades de milhar, e assim por diante.
| Dicas

	Estratégia	Explicação	Exemplo
× 0	0	Todo número multiplicado por 0 é igual a 0	9 × 0 = 0
× 1	Igual	Todo número multiplicado por 1, é ele mesmo	3 × 1 = 3
× 2	Dobro	Todo número multiplicado por 2, é o dobro dele mesmo	2 × 4 = 8
× 3	Dobro + Nº	Todo número multiplicado por 3, é o dobro + o número	3 × 5 = 15
× 4	Dobro do dobro	Todo número multiplicado por 4, e o dobro 2 vezes	4 × 4 = 16
× 5 × 5	Meio e Zero Par \| Impar	Multiplicar par: Metade do número "com um zero ao lado" Multiplicar ímpar: "multiplica pelo par antecessor e soma 5"	5 × 4 = 20 5 × 5 = 25
× 6	Dobro do triplo	Todo número multiplicado por 6, é o número × 3 e × 2. ou × 5 + nº	6 × 3 = 18
× 7	× 5 + dobro	Todo nº multiplicado por 7, é igual a ele mesmo × 5 + seu dobro	7 × 5 = 35
× 8	Dobro do dobro do dobro	Todo número multiplicado por 8, é igual ao nº dobrado 3 vezes	8 × 6 = 48
× 9	× 10 - nº	Todo número multiplicado por 9, é igual a ele × 10 - ele mesmo	9 × 7 = 63
×10	Adicione um Zero	Todo nº multiplicado por 10 é ele mesmo com um zero à direita.	10 × 7 = 70

| Notas
| Regra dos Sinais: Produto entre sinais iguais é positivo e entre sinais contrários é negativo. (Lembre-se, um número sem sinal é sempre positivo).

3 × 5 = 15
3 × (-5) = -15
-3 × 5 = -15
(-3) × (-5) = 15

| Operação de Multiplicação entre números Decimais
Neste caso, armar a conta consiste principalmente em esquecer que existe a vírgula e alinhar os números da direita para a esquerda (↤). Ao chegar no resultado, soma-se a quantidade de termos após a vírgula que há nos números originais e adiciona a vírgula ao resultado final pulando o mesmo numero de termos somados, novamente da direita para a esquerda (↤).
Calcule: 30,2 × 24,75
| Procedimentos

"Retira-se" a vírgula, como se ela não existisse. Então se faz a multiplicação normalmente.
No final, adicione a vírgula pulando o mesmo número de algarismos que haviam após as vírgulas dos números originais.

		UM D	C U	D d	U c
		1	2 \|1	1 \| 1
		2	4	7	5
	×		3	0	2
		¹ 4	9	5	0
	0	0	0	0
7	4	2	5
7	4	7	4	5	0

Resultado: 747450; como haviam 2 números depois da vírgula no primeiro termo e 1 no segundo a soma resultará em 3, então teremos que colocar a vírgula no resultado final pulando 3 casas/algarismos, ou seja:
Resultado Final: 747,450 ou somente 747,45.

Ou seja, para multiplicar números na forma decimal, procedemos como se eles fossem números naturais e damos ao produto um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores.

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▶ Divisão ➗

Dividir é distribuir em grupos iguais.
| Notação
Uma divisão pode se apresentar das seguintes formas:

4 : 2 = 4 ÷ 2 = 4/2 = 2

| Operação de Divisão entre números inteiros (Z)
Para resolver um problema que envolva divisão é necessária uma abordagem diferente. Ao contrário das demais operações, sempre iniciamos uma divisão, resolvendo-a da esquerda para a direita (↦).
Por exemplo: Yugi tem 348 cartas e quer montar 6 decks com quantidades iguais utilizando todas elas. Com quantas cartas ficará cada baralho de Yugi!?
É importante destacar também, que aqui trabalharemos com o valor absoluto dos números e não com o valor posicional, ou seja, 3 valerá apenas 3 (e não 300), 4 valerá apenas 4 (e não 40), e assim por diante.
Simplificadamente: 348 ÷ 6

Verificamos primeiro se podemos dividir o número 3 presente na casa das centenas, pelo número 6 presente no divisor. Como 6 "não cabe" em 3, precisamos "selecionar" mais uma casa, que no caso, será o número 4 (por ser o próximo) presente na casa das dezenas.

Selecionadas duas casas, verificamos se o número 6 "cabe" em 34. Como sabemos que sim, precisamos determinar quantas vezes este número "caberá" em 34, ou seja, por quanto deve-se multiplicá-lo para chegar naquele resultado ou no menor mais próximo. Então a solução é tentar. Neste caso descobriremos que o número 6 "cabe" no máximo 5 vezes no número 34, chegando ao resultado 30. Feito isto, colocamos o número 5 na posição do quociente. Então põe-se o resultado da multiplicação de 5 (quociente) por 6 (divisor) para baixo do número 34 (dividendo selecionado) e efetuamos a subtração entre esses números. Como resultado encontramos 4.

Como 6 (divisor) "não cabe" em 4 (diferença), baixamos o número presente na próxima casa para que possamos seguir com a divisão; neste caso, este número é o 8 presente na casa das unidades. Ao baixá-lo, forma-se o número 48.

Verificamos se 6 "cabe" em 48. Como sabemos que sim, precisamos determinar quantas vezes este número 6 "caberá" em 48; descobriremos através de multiplicações, que o número 6 "cabe" exatamente 8 vezes em 48. Feito isto, colocamos o número 8 no quociente (ao lado do outro número 5 que lá estava). Então põe-se o resultado da multiplicação de 8 (quociente) por 6 (divisor) para baixo do número 48, e efetuamos a subtração entre estes números. Como resultado encontramos 0 e aqui encerra-se a divisão. Divisões com resto 0 são chamadas de divisões exatas.

Resultado: 58 (quociente)

| Algorítimo da divisão
Dada uma divisão, seja D o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto. Após resolvê-la, podemos afirmar que: D = qd + r. Este algoritmo pode ser verificado utilizando os valores encontrados na divisão feita no tópico anterior:
348 = 58 × 6 + 0
348 = 348 ✓
| Notas

Não existe divisão por zero.
0 dividido por qualquer número (exceto o próprio zero), é igual a 0.
Qualquer número dividido por 1 é igual a ele mesmo.
Qualquer número (exceto zero) dividido por ele mesmo é igual a 1

| Divisão exata com quociente decimal
Algumas divisões permitem casas decimais em seu resultado, como neste caso. Ao chegar no terceiro número o resto se mostrava 3, nesses casos, se você precisa de mais exatidão deve adicionar o número 0 (quando já não há mais números no dividendo para baixar), então devemos imediatamente colocar uma vírgula após o último termo encontrado no quociente. Caso a divisão continuasse você poderia adicionar mais um zero se fosse necessário, contudo, se além dele for necessário outro zero, então o quociente terá que ganhar um zero também.
Por exemplo, se fosse 31 - 30 no final, restaria 1, então adicionaríamos mais um zero após o 1, mas sem mexer no quociente, já que a vírgula já havia sido colocada; contudo, não 15 não "cabe" em 10, então adicionaríamos mais um 0 logo após o 10. Mas como já havíamos adicionado um zero nesse resto antes, nós agora teremos que colocar um zero no quociente. Ou seja, depois do primeiro Zero descido que causou a vírgula no quociente, pode-se sempre adicionar um novo zero no resultado, caso seja preciso, mas se houver a necessidade de adicionar 2 ou mais zeros esse zero deve ser posto no quociente.
Vale lembrar também que após a primeira seleção dos números para a divisão só se pode "descer" um número (algarismo) por vez.
| Notas
| Regra dos Sinais: Divisão entre números de sinais iguais é positivo e entre sinais contrários é negativo. (Lembre-se, um número sem sinal é sempre positivo).

| Operação de Divisão entre números decimais
O mais importante, aqui, é que ambos os números possuam a mesma quantidade de casas decimais. Para isso adicionam-se zeros no número sem vírgula ou com menos casas decimais até que se iguale o número de casas decimais à aquele com mais casas decimais que participará da divisão, assim anulando a vírgula.